Die fachlichen Aufsätze sind so geordnet, dass der
jeweils neueste zuerst kommt und dann der Reihe nach die weiter zurückliegenden.
Der Rechnungsstock des Forstmannes
samt einer "Ergänzung" (Beweis)
Die Anfrage eines ehem. Schülers von mir hat mich mit einer Sache bekannt gemacht, die geradezu als Musterbeispiel für den Zusammenklang von Theorie und Praxis auf dem Gebiet der räumlichen Geometrie gelten kann, das von der Theorie her mit Volumsberechnungen bei Drehzylindern und Drehkegeln auskommt und überdies die historischen Längenmaße Zoll und Fuß = 12 Zoll sowie die zugehörigen Flächen- und Raummaße in Erinnerung ruft. Alles in allem: Ich finde diese Sache doch recht interessant und das Wissen darum "aufbewahrenswert". Ich habe meine kleine Arbeit daher auch dem Verein „Kulturgüter Sensenschmiede“ in Micheldorf für dessen Museum zur Verfügung gestellt, in dem sich ein solcher in "alten" Zeiten von den Forstleuten verwendeter Rechnungsstock zur Volumsberechnung von Baumstämmen ("Blochen") befindet.
In obigem Aufsatz wurde eine Näherungsformel für das Volumen eines Drehkegelstumpfes verwendet und dazu bemerkt, dass diese im Vergleich zum tatsächlichen Volumen einen immer etwas kleineren Wert ergibt. Das wird in dieser "Ergänzung" nunmehr bewiesen.
Anlässlich der Neubespannung einer Wäschespinne bin ich auf geometrische Fragen gestoßen, die mich beschäftigt haben. Das Ergebnis ist in folgender kleiner Arbeit
enthalten, von der ich die Seite 1 (wegen des Datenumfangs) direkt eingebe und die Seiten 2 und 3 dann als pdf-Datei.
Das folgende Foto (Abb. 1) zeigt die Wäschespinne in unserem ungarischen Domizil mit ihrer neuen Bespannung, und zwar nach der
Korrektur, von der noch die Rede sein wird. Das Gerät besteht aus einem Träger, auf dem eine Hülse verschoben werden kann, von der vier die Bespannung tragende Streben ausgehen. Diese Streben
sind mit der Hülse durch Gelenke verbunden, welche in der aufgespannten Form im Neuzustand nur eine solche Stellung ermöglichen, bei der je vier Leinenabschnitte zumindest näherungsweise Quadrate
bilden.
Ist die Wäschespinne hingegen schon alt wie die unsere, so sind diese Gelenke ausgeleiert und anstelle der Quadrate können auch andere Vierecke auftreten. Dass es
sich um ebene (und bei lotrechtem Träger waagrechte) Vierecke handelt, das wird durch die an ihren Enden ebenfalls mit dem Träger und den Streben verbundenen Spreizstangen gewährleistet, die im
obigen Bild ebenfalls gut zu sehen sind.
Bei der Neubespannung des Geräts - die alte Leine war mehrfach gerissen und notdürftig wieder zusammengeknüpft worden - war mir dieser Sachverhalt zunächt nicht
bewusst, ich arbeitete munter drauflos von innen nach außen und kam zu einem Ergebnis, welches ich dann gleich im folgenden Foto (Abb. 2) festgehalten habe:
Wäschespinne, Seite 2 und Seite 3
Dank an OStR. Mag. W. Nowak für das Zeichnen der Abb. 3 bis 7.
Die PDF-Datei enthält den Aufsatz „Der Gummer’sche Planetenweg und Keplers Weltgeheimnis“, welcher sich auf einen Wanderweg in Südtirol und auf ein Buch von Thomas de Padova „Das Weltgeheimnis; Kepler, Galilei und die Vermessung des Himmels“ stützt. Der Aufsatz ist in den IBDG, Folge 1/2013, und im JBRG 2012/13 veröffentlicht worden. Das „Weltgeheimnis“ beschäftigt sich mit den fünf platonischen Körpern (regelm. Tetraeder, Würfel, regelm. Oktaeder, regelm. Dodekaeder und regelm. Ikosaeder), und zwar vor allem mit deren Um- und Inkugeln, weil Kepler einen Zusammenhang zwischen diesen und den Planetenbahnen vermutet hat.
Es handelt sich um das Problem, ein halbes Wurstradl, das aus einem kreisförmigen ganzen durch einen geraden Schnitt entstanden ist, in zwei flächengleiche Hälften zu teilen. Beim Studium dieser Aufgabe tauchen unvermutet konvergente Folgen auf, deren Grenzwerte nicht so leicht zu ermitteln sind, sowie Flächenberechnungen, für die das Gleiche gilt. Die Arbeit ist im JBRG 2004/05 veröffentlicht worden.
Im Buch „Fermats letzter Satz“ von Simon Singh (dtv München 2000) wird als Erweiterung eines Duells ein Triell vorgestellt, bei dem der Reihe nach der schwächste Schütze (Trefferwahrscheinlichkeit p1 = 1/3) auf einen der zwei anderen schießt, dann jener mit der Trefferwahrscheinlichkeit p2 = 2/3, sofern er noch lebt, auf einen der zwei anderen, sodann erschießt der todsichere Schütze (p3 = 1), sofern er noch lebt, einen der zwei anderen, woraus sich ein Duell ergibt, bei dem der schwächere Schütze beginnen darf. Die Frage, wie sich der erste Triellant verhalten muss, um seine Überlebenschancen zu optimieren, beantwortet das oben genannte Buch mit: „Er muss in die Luft schießen.“ Es wird aber keine Begründung dafür angegeben. Diese habe ich in meinem im JBRG 2002/03 veröffentlichten Aufsatz „Das Triell-Problem“ nachgeliefert. Die hier auf die Website gelegte Fassung ist besser gegliedert und daher übersichtlicher als die dort abgedruckte Version.
Der französische Astronom Giovanni Domenico CASSINI (1625 bis 1712) hat eine Theorie aufgestellt, nach der sich die Sonne (!) auf einer Kurve bewegt, für deren Punkte das Produkt der Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. Wenngleich sich diese Theorie als falsch erwies, hat CASSINI damit die nach ihm benannten Linien „erfunden“. Deren Behandlung habe ich nach einen Konzept meines hochwohllöblichen DG-Lehrers in der 8. Klasse, Herrn OStR. Mag Kurt KUNZE, zum Druck im JBRG 2001/02 aufbereitet, die Zeichnungen dazu hat mein Fachkollege OStR. Mag. Willi NOWAK beigestellt.
Diesen Aufsatz, veröffentlicht im JBRG 2000/01, halte ich für einen meiner gelungensten, vor allem deswegen, weil er Kulturgeschichte, darunter Geschichte der Mathematik und das Werk Albrecht Dürers, mit reinster Geometrie, insbesondere der von mir so geliebten Kartographie, verbindet. Der Text hat sich aus dem Interesse für Leben und Werk des in der Umgebung von Steyr geborenen Johann Stöberer entwickelt, der sich als Humanist Stabius nannte und der zur Zeit Kaiser Maximilians, des „letzten Ritters“, an der Wiener Universität und am Wiener Hof eine bedeutende Position innehatte.
1. Gurk war/ist kein Erzbistum, sondern "nur" ein Bistum mit einem Bischof, nicht einem Erzbischof. Allerdings war Matthäus Lang von Wellenburg tatsächlich auch Erzbischof, und zwar von Salzburg
ab 1519. (Sie dazu mein Büchlein über KARTOGRAPHIE Seite 49/50.)
2. Der DÜRERschen Weltkarte habe ich hinsichtlich der Benennung (Gradmaß) der Meridiane irrtümlicherweise als Null-Grad-Meridian den Greenwich-Meridian zugrunde gelegt, wiewohl bis 1884 der
17°40' westlich davon gelegene Ferro-Meridian als Null-Meridian gegolten hat. Ferro heißt die westlichste Kanaren-Insel und galt diese bis zur Entdeckung Amerikas als "Ende der (alten) Welt". Auf
die hinsichtlich der DÜRER-Karte durchgeführten rein geometrischen Berechnungen hat das aber keinen Einfluss.
Als Ergänzung zu obigem Aufsatz sei hier noch eine Besprechung von Franz Graf-Stuhlhofers Buch „Georg Tannstetter (Collimitius)“ beigefügt. Collimitius war ein Schüler des Stabius, meine Buchbesprechung ist in „Österreich in Geschichte und Literatur“, 50. Jahrgang 2006, Heft 1-2, Seite 109/110 erschienen.
Diese Stoffgebiete mag ich sehr, erstens aus bergsteigerischen Gründen und zweitens, weil mein verehrter Geometrielehrer am BRG Steyr, Herr Prof. Luka, seinen DG-Unterricht mit der „Kotierten
Projektion“ eingeleitet hat. Im Schuljahr 1999/2000 habe ich ein Seminar für AHS-Mathematiker gehalten, welche im Zuge ihres GZ-Unterrichts auf diese Wissensgebiete näher eingehen wollten. Aus
dem zugehörigen Skriptum ist dann ein Aufsatz entstanden, der unter dem oben genannten Titel in den IBDG, Folge 1/2001 und 2/2001, abgedruckt worden ist.
Dreidimensionale Vermessungsaufgaben
Fünf Beispiele, die zu einer rechnerischen wie auch konstruktiven Lösung einladen
Noch ein Beitrag für die Website der ADG, der den von mir so geschätzten Zusammenhang bzw. die Übereinstimmung zwischen rechnerischer und konstruktiver Geometrie herstellt und dokumentiert.
Nun habe ich zur Aufgabenstellung auch noch die geometrischen Lösungen der fünf Beispiele beigefügt. Selbstverständlich bin ich zu Erklärungen, besonders hinsichtlich der "kniffligen" Aufgaben 4 und 5 bereit, Anfragen nehme ich unter dgm@a1.net gerne entgegen.
dgm/08.03.2020
Das ist eine kleine Arbeit von mir aus den 1990er-Jahren als Beitrag zur (früheren) Website der „Arbeitsgemeinschaft für Darstellende Geometrie“ (ADG). In der Sache handelt es sich um ein „Rezept“, wie man zu frei im Raum schwebenden regelmäßigen Körpern (Prismen, Pyramiden, Polyeder) kommt, deren sämtliche Ecken in einem kartesischen Koordinatensystem durch ganze Zahlen angegeben werden können. Belegt wird das Ganze mit fünf Beispielen, die auch im Laub-Grillmayer-Lehrbuch „dg7“ vorkommen.
Kaum jemals habe ich eine Fortbildungsveranstaltung besucht, ohne danach „etwas daraus zu machen“. In diesem Fall handelte es sich um ein DG-Seminar aus 1991 in Seggauberg, bei dem
Verebnungsbeispiele vorgestellt worden sind. Diese habe ich für den AHS-Gebrauch adaptiert und weitere hinzugefügt. Insgesamt sind zehn solche Beispiele dann im Aufsatz „Verebnungen mit
Praxisbezug“ zusammengefasst und in IBDG 1/1993 und 2/1993 veröffentlicht worden. Damit wollte ich vor allem dazu beitragen, dass im Unterricht der Darstellenden Geometrie den
Anwendungsmöglichkeiten mehr Raum gegeben wird.
Ein "neuer Typ" von DG-Aufgaben
Auch dieser Arbeit ist ein Seminar in Seggauberg (Mai 1990) Pate gestanden. Dabei ist darum gegangen, neben Aufgaben, die sich mit dem reinen Darstellen begnügen, was der Computer inzwischen nahezu vollständig übernommen hat, Beispiele zu entwickeln, bei denen das räumliche Denken im Vordergrund steht. Ich konnte dazu mit der Aufgabe vom kugelförmigen Aschenbecher beitragen, dessen kalottenförmiger Deckel drehbar gelagert ist und in geöffnetem Zustand eine Aschenschale mit waagrechtem Randkreis bildet. Dieses und zwei andere Beispiele habe ich in einem kleinen Aufsatz zusammengefasst, der in IBDG, Folge 2/1991, erschienen ist.
Mit diesem Aufsatz habe ich auf Kritik an den Lehrbüchern „dg7“ und „dg8“ geantwortet, diese vernachlässigen „moderne“ Zugänge zur Darstellenden Geometrie zugunsten einer antiquierten Didaktik, die noch mit festen Bildebenen, mit Umklappungen und mit Stützdreiecken arbeitet. Ich habe darin die Meinung vertreten, dass diese Geometrie zum „Angreifen“ bzw. „Begreifen“ zumindest im Anfängerunterricht dem Erlernen einer reinen, allenfalls weniger aufwändigen Zeichentechnik vorzuziehen ist. Und das meine ich auch heute noch. Der Aufsatz ist in IBDG, Folge 2/1988, erschienen.
In diesem Fall handelte es sich um ein Seminar für DG-Professoren in Saalbach, welches Herr Univ.-Prof. Dr. Hellmuth Stachel von 22. bis 26. November 1982 abgehalten hat. Der Aufsatz, welcher die „Praxistauglichkeit“ der Darstellenden Geometrie belegt, ist im JBRG 1982/83 abgedruckt worden.
Mit großem Stolz hat es mich erfüllt, als nach einem entsprechenden Referat vor den AHS-Mathematikern Oberösterreichs im März 1976 die Johannes-Kepler-Universität Linz an mich mit dem Angebot
herantrat, meinen Referatstext in der „Blauen Reihe“ der JKU Linz als Heft Nr. 8 (April 1977) zu veröffentlichen. Mehr als 30 Jahre später sind der Text und vor allem die damals entwickelten
Beispiele in mein Buch „Im Reich der Geometrie I“ eingegangen.
Die Neue Mathematik
Meine erste für den Jahresbericht der BRG Steyr geschriebene Arbeit und dort im Jahr 1976 veröffentlicht. Anlass war die unter dem Schlagwort „Mengenlehre“ stehende Reform des Mathematikunterrichts und die dagegen entfachte Kampagne. Zweck meines Aufsatzes war es, einerseits für die Reform Verständnis zu erwecken, andererseits aber davor zu warnen, die Schulmathematik über Gebühr zu verwissenschaftlichen. Letztlich ist die Arbeit ein Plädoyer für einen „genetischen“ Mathematikunterricht, wie ich ihn auch im meinem Buch „Schule zwischen Anspruch und Zeitgeist“ anspreche. Das Schreibmaschine-Manuskript ist damals in den Jahresbereicht einfach hineinkopiert worden. Erst im Jahr 2001 habe ich den Text digitalisiert.
Anfang Juni 2017 habe ich "Die Neue Mathematik" überarbeitet und die (bis dahin) fehlenden Figuren beigefügt. Dabei ist mir bewusst geworden, dass ich mich vor 40
Jahren dafür ausgesprochen habe, dass den Gymnasiasten die neuere Denk- und Arbeitsweise der Mathematik näher gebracht wird, während ich heute schon froh wäre, würden alle Maturanten wenigstens
über sichere Grundkenntnisse und Fertigkeiten in der klassischen Mathematik verfügen.
Der Bennet'sche Mechanismus
Meine Hausarbeit aus Darstellender Geometrie entstand 1967 und behandelt ein räumliches bewegliches Parallelogramm, also ein der räumlichen Kinematik zugehöriges Thema. Vom Engländer BENNET
entdeckt war der Mechanismus vor mir und nach mir Gegenstand einschlägiger Aufsätze. Von dieser Hausarbeit gibt es zwei gedruckte Exemplare, eines davon in meinem Besitz und das andere sollte
sich noch auf dem Institut für Geometrie der TU Wien befinden. Univ.-Prof. Walter WUNDERLICH († 1998) hat mich nämlich seinerzeit um ein Exemplar für die Bibliothek dieses Instituts gebeten. Die
Arbeit wurde mit „Sehr gut“ beurteilt.
Eliminationstheorie
Von meiner Mathematik-Hausarbeit aus 1967 gibt es nur ein Exemplar, das mit (m)einer mechanischen Schreibmaschine abgefasst ist. Das mir von Univ.-Prof. Edmund HLAWKA († 2009) gestellte Thema
betrifft ein Teilgebiet der Algebra, in dem es um die Lösbarkeit und die Lösungsmengen von Gleichungssystemen geht, an denen nichtlineare Gleichungen beteiligt sind. Das Thema entpuppte sich bald
als für mich Geometer sehr gut gewählt, denn es läuft auf das Bézoutsche Theorem hinaus, das bei den Durchdringungen krummer Flächen eine große Rolle spielt. In Folge bin ich auch in meinen
Büchern „Im Reich der Geometrie II“ und "Algebra" darauf zurückgekommen. Die Hausarbeit wurde mit „Sehr gut“ beurteilt.
DGM presents
