Mathematik

Die in einer Wochenzeitschrift auf deren Rätselseite entdeckten Aufgaben, ein nur mit sieben Zahlen bestücktes magisches Quadrat 4. Ordnung zu vervollständigen, haben mich veranlasst, dem Thema näherzutreten. Dabei bin ich auf ein mir bisher unbekanntes und höchst interessantes Wissen gestoßen, das ich hiermit weitergeben möchte.

Eine kleine Arbeit über das von Archimedes angewendete Verfahren, Näherungswerte für die Kreiszahl Pi, insbesondere die Bruchzahl 22/7, zu ermitteln.

Für die Fünfeckskonstruktion, bei gegebenem Umkreis k(M, r) die Seitenlänge des zugehörigen regelm. Fünfecks ABCDE ohne Benützung eines Winkelmessers zu konstruieren, ist mir meiner Erinnerung nach noch nie ein Beweis untergekommen. Hier wird die Konstruktion nun dazu benützt, den Sinus von 36° (= halber Scheitelwinkel des gleichschenkligen Dreiecks ABM) zu berechnen und das Ergebnis stimmt auf neun Dezimalen mit dem Wert überein, den der Taschenrechner liefert. Insofern bildet diese Rechnung einen Beleg für die Richtigkeit der genannten Konstruktion.

Diese zehnseitige Arbeit habe ich vornehmlich als Orientierung für meine Enkelin Ylvi verfasst, weil sich diese mit dem Gedanken trägt, Architektur zu studieren, aber im Gymnasium keinen DG-Unterricht genossen hat.

Im Zuge der Lernbegleitung zur Matura für meine Enkelin Ylvi habe ich mich mit diesem Thema beschäftigt, das in meinem Buch "Im Reich der Geometrie II" (Räumliche Geometrie) nicht vorkommt.

Das ist die im Dezember 2023 verbesserte Fassung einer Anleitung und Begründung hinsichtlich des Ziehens von Quadratwurzeln. Zwar ist diese Kulturtechnik durch Taschenrechner und Computer praktisch völlig verdrängt worden, doch hat diese für mich durchaus etwas mit mathem. Bildung zu tun, und es macht mir auch Freude, Wurzelwerte, die der Rechner „ausspuckt“, durch eigene Rechnung überprüfen zu können.

Im Mathematik-Lehrbuch für die 8. Klasse AHS "Mathematik verstehen 8" habe ich ein wirklich sehr schönes Beispiel gefunden, das hier abgehandelt wird.

Ausgehend von Turmdächern, insbesondere den viergiebeligen (Kreuzdach, Faltdach, Rhombendach, Nadelhelm), bin ich den mir bis dahin nur oberflächlich begegneten Rhombendodekaedern näher getreten und bilden die von zwölf kongruenten Flächen begrenzten Körper dieser Art das Kernstück der vorliegenden Arbeit mit zum Teil - zumindest für mich - doch recht überraschenden Ergebnissen, z. B. die Existenz einer Inkugel.

Dieser Text kann als Fortsetzung/Ergänzung meines Aufsatzes „Planare Graphen und der Eulersche Polyedersatz“ gelten. Er ist im Wesentlichen eine Adaption des gleichnamigen Abschnittes aus meinem bei „Books on Demand“ im Jahr 2010 veröffentlichten Buch „Im Reich der Geometrie, Teil II: Räumliche Geometrie“, enthält aber doch ein paar wissenswerte "Neuigkeiten", auf welche ich erst im Zuge dieser Bearbeitung des Themas gestoßen bin. In einem Anhang habe ich mich dann noch näher mit dem Ikosidodekaeder beschäftigt und eine aus der unteren Hälfte seiner Oberfläche bestehende "Schale" in Grund- uns Aufriss dargestellt.

Der Eulersche Polyedersatz hat mich wegen seiner Universalität schon immer fasziniert, was ich in einer kleinen Arbeit zum Ausdruck bringen und weitergeben wollte. Dabei bin ich im Internet auf die mir bis dahin völlig unbekannten "planaren Graphen" gestoßen, mit deren Hilfe der französische Mathematiker Augustin Louis Cauchy bereits 1813 den Polyedersatz bewiesen hat.

Diese "Fleißaufgabe" basiert auf ein paar Stunden Lernhilfe für eine Enkelin, die das erste Semester der 7. Klasse an „ihrem“ Linzer Gymnasium wegen eines Amerika-Aufenthalts versäumt hatte. An der von ihr besuchten High School in den USA stand die Differentialrechnung nicht auf dem Lehrplan, sodass eine kompakte Einführung in diese Materie erforderlich war. Das – allerdings mathematisch sehr begabte – Mädchen hat schon nach zwei „Sitzungen“ wieder Anschluss an ihre Klasse gefunden, was mich wirklich überrascht und dazu animiert hat, den von mir gewählten Zugang zum genannten Thema schriftlich festzuhalten.

Eine kleine Arbeit nur so zum "Zeitvertreib". Zum Verständnis reicht ein trigonometrisches Grundwissen aus und wie man mit Brüchen umgeht, welche Wurzelwerte enthalten, insbesondere hinsichtlich des Rationalmachens der Nenner.